Core · 근과 계수
합과 곱은 계수가 안다
$ax^2+bx+c=0$ 의 두 근 $\alpha,\beta$ 에 대하여 $\quad \alpha+\beta=-\dfrac{b}{a},\qquad \alpha\beta=\dfrac{c}{a}$
근의 공식의 두 근 $\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}$ 를 더하면 $\sqrt D$ 가 소거되어 $-\dfrac b a$, 곱하면 $\dfrac{b^2-D}{4a^2}=\dfrac c a$ 가 된다.
Core · 역방향
근으로 방정식 만들기
두 수 $\alpha,\beta$ 를 근으로 하는 이차방정식: $x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0$
대칭식 $\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$, $\;\dfrac1\alpha+\dfrac1\beta=\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$ 처럼, 합과 곱만으로 여러 식의 값을 구할 수 있다.
Interactive · 실험실
두 근으로 방정식 만들기
두 근 $\alpha, \beta$ 를 끌면 그래프의 x절편이 따라 움직이고, 합·곱과 그로부터 만들어지는 방정식이 즉시 갱신됩니다.
근 α, β → 방정식
Examples · 예제
예제
예제 1 · 대칭식
$x^2-5x+2=0$ 의 두 근을 $\alpha,\beta$ 라 할 때 $\alpha^2+\beta^2$ 을 구하여라.
- $\alpha+\beta=5,\ \alpha\beta=2$
- $\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=25-4=21$
예제 2 · 방정식 만들기
두 수 $3, -2$ 를 근으로 하는 이차방정식을 구하여라. (최고차항 계수 1)
- 합 $3+(-2)=1$, 곱 $3\cdot(-2)=-6$
- $x^2-1\cdot x+(-6)=0 \Rightarrow x^2-x-6=0$
Quick Check · 즉문즉답
즉시 점검
Q1. $x^2-5x+2=0$ 의 두 근의 합은?
Q2. 같은 방정식의 두 근의 곱은?
Q3. $3, -2$ 를 근으로 하는 이차방정식은? (예: x^2-x-6=0)
Practice · 연습
연습 & 무한 연습
01★
$x^2+3x+1=0$ 의 두 근의 합을 구하여라.
02★
$2x^2-6x+4=0$ 의 두 근의 곱을 구하여라. ($c/a$)
03★★
$x^2-3x+1=0$ 의 두 근 $\alpha,\beta$ 에 대하여 $\alpha^2+\beta^2$ 의 값을 구하여라.
04★★
$x^2-4x+k=0$ 의 한 근이 다른 근의 3배일 때 $k$ 의 값을 구하여라. (근 $1,3$)
무한 연습 — 방정식 만들기
주어진 두 근으로 이차방정식 $x^2+px+q=0$ 을 만들 때 $p, q$ 를 콤마로 입력하세요.
근과 계수는 동전의 양면
합 $-b/a$, 곱 $c/a$.
근을 알면 방정식을, 방정식을 알면 합·곱을 — 서로를 부른다.
"Sum and product hold the roots without solving."